|
|
|
\require{AMSmath}
Reageren...
Re: Integreren
Hai!
Ik heb een vraag of dit klopt.
Ik bedoel is het genoeg?
Bewijs dat A$\cup$B=A$\cap$B als en alleen als A=B
1. Als A$\cup$B=A$\cap$B dan A=B.
2. Als A=B dan A$\cup$B=A$\cap$B.
1. Laat x$\in$((A$\cup$B)=(A$\cap$B)) dus x$\in$A$\cup$B en x$\in$A$\cap$B. En dus is x$\in$A en x$\in$B Dus x$\in$A=B
2. We nemen aan dat A=B. Dus x$\in$A en x$\in$B. Aangezien x$\in$A=B is, is AÍB en BÍA dus is A$\cup$B=A$\cap$B.
Q.E.D
Kan dit ???
Alvast bedankt!
Antwoord
Laten we eerst uitgaan van de veronderstelling A = B.
Dan is A$\cup$B = A$\cup$A = A en A$\cap$B = A$\cap$A = A zodat A$\cup$B = A$\cap$B
Nu andersom: we gaan dus uit van de veronderstelling dat de doorsnede en de vereniging van A en B gelijk zijn.
Kies een element x$\in$A. Dan geldt per definitie x$\in$A$\cup$B dus geldt dan ook x$\in$A$\cap$B, dús x$\in$B waaruit we concluderen dat AÍB.
Volmaakt analoog geldt: als x$\in$B dan ook x$\in$A, zodat BÍA.
Uit beide resultaten volgt dus A = B.
Je eigen eerste bewijs eindigt vreemd. Uit x$\in$A en x$\in$B trek je m.i. de conclusie dat A = B, maar je kunt slechts concluderen dat x$\in$A$\cap$B.
Maar dat stond al vast!
Gebruik dit formulier alleen om te reageren op de inhoud van de vraag en/of het
antwoord hierboven. Voor het stellen van nieuwe vragen kan je gebruik maken
van een vraag stellen in het menu aan de linker kant. Alvast bedankt!
|
